Question

6．已知直线l：x+y+m=0（m∈R）与圆C：（x+2）²+（y-1）²=4相交于A、B两点，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$的最大值为8．

Answer 1

分析 取线段AB的中点为D，则由题意可得CD⊥AB，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$AB²．故当弦长AB最大（为圆的直径）时，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$最大，由此求得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$的最大值．

解答 解：取线段AB的中点为D，则由题意可得CD⊥AB，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$•${\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}$AB²．
故当弦长AB最大时，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$最大，即当圆心C（-2，1）在直线l：x+y+m=0上时，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$最大．
把圆心C（-2，1）代入直线l：x+y+m=0，求得m=1，
故$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$的最大值为 $\frac{1}{2}$AB²=$\frac{1}{2}$（2r）²=2r²=2×4=8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，两个向量的数量积的定义，体现了转化的数学思想，属于基础题．