Question

14．已知函数f（x）=x²•sinx，各项均不相等的数列{x_n}满足|x_i|≤$\frac{π}{2}$（i=1，2，3，…，n）．令F（n）=（x₁+x₂+…+x_n）•[f（x₁）+f（x₂）+…f（x_n）]（n∈N^*）．给出下列三个命题：
（1）存在不少于3项的数列{x_n}，使得F（n）=0；
（2）若数列{x_n}的通项公式为${x_n}={（{-\frac{1}{2}}）^n}（{n∈{N^*}}）$，则F（2k）＞0对k∈N^*恒成立；
（3）若数列{x_n}是等差数列，则F（n）≥0对n∈N^*恒成立．
其中真命题的序号是（　　）

• A． （1）（2）
• B． （1）（3）
• C． （2）（3）
• D． （1）（2）（3）

Answer 1

分析 由题意，f（x）=x²sinx是奇函数，只需考查0＜x≤1时的性质，此时y=x²，y=sinx都是增函数，得f（x）=x²sinx在[0，1]上是增函数；即x₁+x₂≠0时，（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂））＞0；
对于（1），取$-\frac{π}{2}$≤x₁=-x₃$≤\frac{π}{2}$，x₂=0，即可判断；
对于（2），运用等比数列的求和公式和性质，即可判断；
对于（3），运用等差数列的求和公式和性质，结合函数f（x）的单调性，即可判断．

解答 解：由题意得f（x）=x²sinx是奇函数，
当0＜x≤$\frac{π}{2}$时，y=x²，y=sinx都是增函数，
∴f（x）=x²sinx在[0，$\frac{π}{2}$]上递增，
∴f（x）=x²sinx在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数；
若x₁+x₂＜0，则x₁＜-x₂，∴f（x₁）＜f（-x₂），
即f（x₁）＜-f（x₂），∴f（x₁）+f（x₂）＜0；
同理若x₁+x₂＞0，可得f（x₁）+f（x₂）＞0；
∴x₁+x₂≠0时，（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂））＞0．
对于（1），取$-\frac{π}{2}$≤x₁=-x₃$≤\frac{π}{2}$，x₂=0，则F（3）=（x₁+x₂+x₃）•
[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）]=0，因此（1）正确；
对于（2），∵${x_n}={（{-\frac{1}{2}}）^n}（{n∈{N^*}}）$，∴x₁+x₂+…+x_n=$\frac{-\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$＜0，
又f（2k-1）+f（2k）=$（-\frac{1}{2}）^{2（2k-1）}$$sin（-\frac{1}{2}）^{2k-1}$+$（-\frac{1}{2}）^{2•2k}$$sin（-\frac{1}{2}）^{2k}$=$（\frac{1}{4}）^{2k}$$[-4sin（\frac{1}{2}）^{2k-1}+sin（\frac{1}{2}）^{2k}]$＜0，
∴F（2k）＞0对k∈N^*恒成立，故（2）正确；
对于（3），如x₁+x₂+…+x_n=0，F（n）=0时，若数列{x_n}是等差数列，
则x₁+x₂+…+x_n＞0，则x₁+x_n＞0，f（x₁）＞f（x_n），可得x₂+x_n-1＞0，…，f（x₂）＞f（x_n-1），…
相加即可得到F（n）＞0，同理x₁+x₂+…+x_n＜0，即有f（x₁）+f（x₂）+…f（x_n）＜0，即F（n）＞0，
则（3）正确．
故选D．

点评 本题通过命题真假的判定，考查了新定义的函数的性质以及应用问题，函数的单调性与奇偶性问题，等差与等比数列的性质与应用问题，是综合题．