Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（2x²+x）=k（2＜k≤3）的根的个数不可能为（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$ 的图象，令t=2x²+x，分类讨论求得y=a与y=f（t）的图象的交点个数，
可得结论．

解答 解：画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$ 的图象如右图，
令t=2x²+x，
当2＜a≤3时，y=a与y=f（t）的图象有三个交点，
三个交点的横坐标记为t₁，t₂，t₃且t₁≤0＜t₂＜t₃，
当2x²+x=t₂时，该方程有两解，2x²+x=t₃时，
该方程也有两解．
当2x²+x=t₁时，该方程有0个解或1个解或2个解，
∴当2＜a≤3时，方程f（2x²+x）=a的根的个数可能
为4个，5个，6个．
当a＞3时，y=a与y=f（t）的图象有两个交点，
两个交点的横坐标记为t₄，t₅且0＜t₄＜t₅，
当2x²+x=t₄时，该方程有两解，2x²+x=t₅时，该方程也有两解，
∴当a＞3时，方程f（2x²+x）=a的根的个数为4个．
综上所述：方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的个数可能为4个，5个，6个，
不可能是3个，
故选：D．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．