Question

7．若函数f（x），g（x）满足：?x∈（0，+∞），均有f（x）＞x，g（x）＜x成立，则称“f（x）与g（x）关于y=x分离”．已知函数f（x）=a^x与g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）关于y=x分离，则a的取值范围是（${e}^{\frac{1}{e}}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得y=a^x与y=log_ax互为反函数，a＞1，故问题等价于a^x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立，利用导数进行解决．

解答 解：由题意，a＞1．
故问题等价于a^x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．
构造函数f（x）=a^x-x，则f′（x）=a^xlna-1，
由f′（x）=0，得x=log_a（log_ae），
x＞log_a（log_ae）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
0＜x＜log_a（log_ae），f′（x）＜0，f（x）递减．
则x=log_a（log_ae）时，函数f（x）取到最小值，
故有${a}^{lo{g}_{a}（lo{g}_{a}e）}$-log_a（log_ae）＞0，解得a＞${e}^{\frac{1}{e}}$．
故答案为：（${e}^{\frac{1}{e}}$，+∞）．

点评 本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．