Question

7．已知函数f（x）=x²-（k+1）x+$\frac{9}{4}$，g（x）=2x-k，其中k∈R
（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；
（2）设函数p（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＜0}\\{g（x），x≥0}\end{array}\right.$，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₁≠x₂），使得p（x₁）=p（x₂）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得△=（k+4）（k-2），分类讨论，分别求出实数k的取值范围，再取并集，即得所求．
（2）根据g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（-k，+∞），f（x）在（-∞，0）上的值域为（$\frac{9}{4}$，+∞），即可得出结论．

解答 解：（1）由题意知△=（k+4）（k-2）…（2分）
①当f（1）f（4）＜0时，$\frac{9}{4}＜k＜\frac{57}{16}$．…（3分）
②当f（1）f（4）=0时，k=$\frac{9}{4}$或k=$\frac{57}{16}$，经检验k=$\frac{9}{4}$符合．…（4分）
③当△=0时，k=2或k=-4，经检验k=2符合．…（5分）
④当$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{1＜\frac{k+1}{2}＜4}\\{f（1）＞0}\\{f（4）＞0}\end{array}\right.$时，解得2＜k＜$\frac{9}{4}$．…（6分）
综上2≤k＜$\frac{57}{16}$             …（8分）
（Ⅱ）显然g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（-k，+∞） …（10分）
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，$\frac{k+1}{2}$≥0即k≥-1．
∴f（x）在（-∞，0）上的值域为（$\frac{9}{4}$，+∞）           …（12分）
∴$k=-\frac{9}{4}$
而 k≥-1，∴这样的k不存在．                         …（14分）

点评 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于中档题．