Question

19．如图，抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l （a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C₁与C₂在第一象限的交点为P（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线C₁及椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与椭圆C₂交于不同两点A、B，点M满足$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow 0$，直线FM的斜率为k₁，且k•k₁=$\frac{1}{4}$，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）借助于抛物线过点P，先求抛物线方程，再利用离心率公式，结合椭圆的a，b，c的关系，求椭圆方程；
（Ⅱ）点M满足$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow 0$，等价于点M为线段AB的中点，由直线l与椭圆方程联立，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，结合条件得到t的不等式，运用二次不等式的解法，即可得到范围．

解答 解：（Ⅰ）将P（ 2，1）代入x²=2py得p=2，
∴抛物线C₁的方程为x²=4y，焦点F（0，1）
把P（2，1）代入椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
又e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
故椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由直线l：y=kx+t与$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1联立得，
（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-2）=0，
△＞0得2+8k²＞t²①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$，
由题意点M为线段AB的中点，设M（x_M，y_M），
∴x_M=$\frac{-4kt}{1+4{k}^{2}}$，y_M=$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$，
∴k₁=$\frac{t-（1+4{k}^{2}）}{-4kt}$，
∴kk₁=$\frac{t-1-4{k}^{2}}{-4t}$=$\frac{1}{4}$，
即有4k²=2t-1，
由①可得，2t-1＞$\frac{1}{2}$（t²-2），
解得0＜t＜4．
则t的取值范围为（0，4）．

点评 本题主要考查圆锥曲线相交，求圆锥曲线方程，利用了待定系数法，同时考查了直线与曲线相交问题，向量共线的定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．