Question

14．如图，过抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F的直线交C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，且x₁x₂=-4．
（Ⅰ）p的值；
（Ⅱ）R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，RQ的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可设MN：y=kx+$\frac{p}{2}$，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系结合x₁x₂=-4求得p值；
（Ⅱ）设R（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），T（0，t），由T在RQ的垂直平分线上，列等式求得t的值，再由${S}_{△MNT}=\frac{1}{2}•|FT|•|{x}_{1}-{x}_{2}|=\frac{3}{4}|{x}_{1}-{x}_{2}|$，结合（Ⅰ）把面积转化为含有k的代数式求得最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意设MN：y=kx+$\frac{p}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{p}{2}}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，消去y得，x²-2pkx-p²=0（*）
由题设，x₁，x₂是方程（*）的两实根，∴${x}_{1}{x}_{2}=-{p}^{2}=-4$，故p=2；
（Ⅱ）设R（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），T（0，t），
∵T在RQ的垂直平分线上，∴|TR|=|TQ|．
得${{x}_{3}}^{2}+（{y}_{3}-t）^{2}={{x}_{4}}^{2}+（{y}_{4}-t）^{2}$，又${{x}_{3}}^{2}=4{y}_{3}，{{x}_{4}}^{2}=4{y}_{4}$，
∴$4{y}_{3}+（{y}_{3}-t）^{2}=4{y}_{4}+（{y}_{4}-t）^{2}$，即4（y₃-y₄）=（y₃+y₄-2t）（y₄-y₃）．
而y₃≠y₄，∴-4=y₃+y₄-2t．
又∵y₃+y₄=1，∴$t=\frac{5}{2}$，故T（0，$\frac{5}{2}$）．
因此，${S}_{△MNT}=\frac{1}{2}•|FT|•|{x}_{1}-{x}_{2}|=\frac{3}{4}|{x}_{1}-{x}_{2}|$．
由（Ⅰ）得，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
${S}_{△MNT}=\frac{3}{4}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{3}{4}\sqrt{（4k）^{2}-4•（-4）}=3\sqrt{{k}^{2}+1}≥3$．
因此，当k=0时，S_△MNT有最小值3．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，着重考查“舍而不求”的解题思想方法，考查了计算能力，是中档题．