Question

9．4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕．某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；
（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用概率和为1，可求a；根据频率分布直方图，计算数据的平均数即可；
（Ⅱ）计算被抽到的同学考试成绩在80（分）以上的概率；
（Ⅲ）得出X可能的取值，求出X的分布列与期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由题意，（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，∴a=0.005；
估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：
0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=76.5…4分
（Ⅱ）（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件A．
P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；
∴被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4； …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80（分）以上的概率为P=0.4；
X可能的取值是0，1，2，3；
∴P（X=0）=${C}_{3}^{0}•0．{4}^{0}•0．{6}^{3}$=$\frac{27}{125}$；
P（X=1）=${C}_{3}^{1}•0.4•0．{6}^{2}$=$\frac{54}{125}$；
P（X=2）=${C}_{3}^{2}•0．{4}^{2}•0.6$=$\frac{36}{125}$；
P（X=3）=${C}_{3}^{3}•0．{4}^{3}$=$\frac{8}{125}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（12分）
所以 E（X）=0×$\frac{27}{125}$+1×$\frac{54}{125}$+2×$\frac{36}{125}$+3×$\frac{8}{125}$=$\frac{6}{5}$…（13分）

点评 本题考查了频率布直方图应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是综合性题目．