Question

2．已知矩阵M=$（\begin{array}{l}{1}&{m}\\{n}&{1}\end{array}）$，若向量$（\begin{array}{l}{-2}\\{1}\end{array}）$在矩阵M的变换下得到向量$（\begin{array}{l}{1}\\{3}\end{array}）$．
（Ⅰ） 求矩阵M；
（Ⅱ） 设矩阵$N（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{1}\end{array}）$，求直线x-y+1=0在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用矩阵变换公式，即可求矩阵N；    
（Ⅱ）求出MN，可得坐标之间的关系，代人直线x+y+1=0整理，即可求曲线的方程

解答 解：（Ⅰ）由=$（\begin{array}{l}{1}&{m}\\{n}&{1}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{-2}\\{1}\end{array}）$=$[\begin{array}{l}{1}\\{3}\end{array}]$…（1分）
得$\left\{\begin{array}{l}{-2+m=1}\\{-2n+1=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=-1}\\{m=3}\end{array}\right.$…（2分）
∴M=$[\begin{array}{l}{1}&{3}\\{-1}&{1}\end{array}]$…（3分）
（Ⅱ）NM=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{1}\end{array}][\begin{array}{l}{1}&{3}\\{-1}&{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}&{3}\\{1}&{7}\end{array}]$…（4分）
设点（x，y）是直线x-y+1上1一点，在矩阵NM的对应变换作用下得到的点（x′，y′），则
$[\begin{array}{l}{1}&{3}\\{1}&{7}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=x′}\\{x+7y=y′}\end{array}\right.$…（5分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{y′-x′}{4}}\\{x=\frac{7x′-3y′}{4}}\end{array}\right.$，代入x-y+1=0得2x′-y′+1=0…（6分）
即所求的曲线方程为2x-y-1=0…（7分）

点评 本题给出矩阵变换，求直线x+y+1=0在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识，属于中档题．