Question

13．点P是在平面直角坐标系中不在x轴上的一个动点，满足：过点P可作抛物线x²=y的两条切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）设点A（x₁，y₁），求证：切线PA的方程为y=2x₁x-x₁²；
（Ⅱ）若直线AB交y轴于R，OP⊥AB于Q点，求证：R是定点并求$\frac{|PQ|}{|QR|}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设以A（x₁，x₁²）为切点的切线方程为y-x₁²=k（x-x₁），联立抛物线方程，运用判别式为0，求得斜率k，即可得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，x₁x₂），设直线AB方程，联立抛物线方程，求得P的坐标，由垂直的条件，可得R的坐标，进而得到|PQ|，|QR|，运用基本不等式即可得到最小值．

解答 证明：（Ⅰ）设以A（x₁，x₁²）为切点的切线方程为y-x₁²=k（x-x₁），
联立抛物线方程，可得x²-kx+kx₁-x₁²=0，
由△=k²-4kx₁+4x₁²=（k-2x₁）²=0，
得k=2x₁，所以切线PA：y=2x₁x-x₁²；
（Ⅱ）设B（x₂，x₂²），
由（Ⅰ）可得切线PB：y=2x₂x-x₂²，可得P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，x₁x₂），
设AB：y=kx+m与y=x²联立得x²-kx-m=0，
即P（$\frac{k}{2}$，-m），由题意可得k•k_OP=k•$\frac{-m}{\frac{k}{2}}$=-2m=-1，
解得m=$\frac{1}{2}$，即R（0，$\frac{1}{2}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{y=kx+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可得Q（-$\frac{k}{2（{k}^{2}+1）}$，$\frac{1}{2（{k}^{2}+1）}$），
|PQ|=$\frac{|2+{k}^{2}|}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$，|QR|=$\sqrt{|OR{|}^{2}-|OQ{|}^{2}}$=$\frac{|k|}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
所以$\frac{|PQ|}{|QR|}$=$\frac{{k}^{2}+2}{|k|}$=|k|+$\frac{2}{|k|}$≥2$\sqrt{2}$，
当且仅当k=±$\sqrt{2}$时，$\frac{|PQ|}{|QR|}$的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，联立直线方程，运用判别式为0，同时考查直线垂直的条件，考查运算求解能力，属于中档题．