Question

9．过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1 （a＞0，b＞0）的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l，垂足为A，l与另一条渐近线交于B点，若$\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{FA}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 先由$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．

解答 解：如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，
延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，
又因为$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，所以A为线段FB的中点，
∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，
所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=3，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=4⇒e=2．
故选A．

点评 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，同时考查平面向量的共线定理的运用，属于中档题．