Question

16．公差不为0的等差数列{a_n}的首项为1，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 证明：对一切正整数n，有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”、“放缩法”即可得出．

解答 解：（ I）设公差为d，∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，
∴$a_5^2={a_2}•{a_{14}}$，
即（1+4d）²=（1+d）•（1+13d），
化简得d²-2d=0，
∵公差不为0，∴公差d=2．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．
（ II）$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{1•3}+\frac{1}{3•5}+\frac{1}{5•7}+…+\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}•[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]$=$\frac{1}{2}•[{1-\frac{1}{2n+1}}]＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．