Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦点分别为F₁，F₂，点G在椭圆C上，且$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，△GF₁F₂的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x-1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，当$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$、点G在椭圆上、$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0及△GF₁F₂的面积为2列式求得a²=4，b²=2，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，把$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$转化为含有k的代数式，利用基本不等式求得使$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$取得最大值的k，则直线Γ的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，①
∵左右焦点分别为F₁、F₂，点G在椭圆上，
∴|$\overrightarrow{G{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{G{F}_{2}}$|=2a，②
∵$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，△GF₁F₂的面积为2，
∴|$\overrightarrow{G{F}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{G{F}_{2}}$|²=4c²，③
$\frac{1}{2}|\overrightarrow{G{F}_{1}}|•|\overrightarrow{G{F}_{2}}|=2$，④
联立①②③④，得a²=4，b²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{k（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}=\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}{k（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}=k\frac{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
=$k•\frac{\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+1}{\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}-3•\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+9}$=$k•\frac{2{k}^{2}-4-4{k}^{2}+1+2{k}^{2}}{2{k}^{2}-4-12{k}^{2}+9（1+2{k}^{2}）}=\frac{-3k}{5+8{k}^{2}}$
=$\frac{3}{（-\frac{5}{k}）+（-8k）}≤\frac{3}{4\sqrt{10}}$，当且仅当$k=-\frac{\sqrt{10}}{4}$时，取得最值．
此时l：y=$-\frac{\sqrt{10}}{4}（x-1）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线间的关系，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．