Question

1．已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足|OH|-|HF|=2．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点F作直线l与点P的轨迹交于A，B两点，点C（2，0）．连接AC，BC与直线x=$\frac{4}{3}$分别交于点M，N．试证明：以MN为直径的圆恒过点F．

Answer 1

分析 （1）取F′（-3，0），连接PF′，可得|PF′|-|PF|=4，由双曲线定义知，点P的轨迹是以F′，F为焦点的双曲线的右支，即可求点P的轨迹方程；
（2）直线l方程为x=ty+3，代入双曲线方程，利用三点共线，求出M，N的坐标，证明$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=0，即可得出结论．

解答 解：（1）如图，取F′（-3，0），连接PF′．
∵|OH|-|HF|=2，
∴|PF′|-|PF|=4       
由双曲线定义知，点P的轨迹是以F′，F为焦点的双曲线的右支，
∴a=2，c=3，
∴b=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$
∴P的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1（x＞0）$…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（$\frac{4}{3}$，m），N（$\frac{4}{3}$，n），
直线l方程为x=ty+3，代入双曲线方程整理得：（5t²-4）y²+30ty+25=0
∴y₁+y₂=-$\frac{30t}{5{t}^{2}-4}$，y₁y₂=$\frac{25}{5{t}^{2}-4}$…（6分）
∵A，C，M三点共线，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}=\frac{m}{\frac{4}{3}-2}$，
∴m=-$\frac{2}{3}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$       
同理n=-$\frac{2}{3}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$
∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（$\frac{4}{3}$-3，-$\frac{2}{3}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$）•（$\frac{4}{3}$-3，-$\frac{2}{3}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$）
=$\frac{25}{9}$+$\frac{4}{9}$•$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}+t（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$=$\frac{25}{9}$+$\frac{4}{9}$•$\frac{25}{25{t}^{2}-30{t}^{2}+5{t}^{2}-4}$=0
∴FM⊥FN，
即∠MFN=90°
∴以MN为直径的圆恒过点F…（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．