Question

17．已知等比数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=5，S_n为其前{a_n}项和，且20S₁，S₃，7S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₅a₁+log₅a₂+…+log₅a_n，求数列{$\frac{1}{b_n}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过20S₁，S₃，7S₂成等差数列可得公比，进而可得结论；
（2）通过对数的运算性质及分离分母，并项相加即可．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
∵20S₁，S₃，7S₂成等差数列，∴2S₃=20S₁+7S₂．
即$2（{a_1}+{a_1}q+{a_1}{q^2}）=20{a_1}+7（{a_1}+{a_1}q）$，
化简得2q²-5q-25=0，
解得：q=5或$q=-\frac{5}{2}$，
∵a_n＞0，∴$q=-\frac{5}{2}$不符合题意，舍去，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=5×{5^{n-1}}={5^n}$．
（2）∵b_n=log₅a₁+log₅a₂+…+log₅a_n
=${log_5}（{a_1}{a_2}…{a_n}）={log_5}{5^{1+2+3+…+n}}=1+2+3+…+n$
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{b_n}$=$\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查求数列的通项，考查求数列的和，涉及到对数的运算性质等知识，分离分母且并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．