Question

8．已知椭圆E的两焦点分别为（-1，0）（1，0），且经过点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过P（-2，0）的直线l交E于A、B两点，且$\overrightarrow{PB}$=3$\overrightarrow{PA}$，设A、B两点关于x轴的对称点分别是C、D，求四边形ACDB的外接圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=1，进而可得a²=b²+1，把点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得系数，可得方程；
（Ⅱ）设l：x=my-2，代入椭圆E$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1并整理可得（m²+2）y²-4my+2=0，由韦达定理可得m²=4不妨取m=2可得圆心和半径，可得方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得c=1，∴a²=b²+1，
把点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得$\frac{1}{{b}^{2}+1}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，
解得b²=1，∴a²=b²+1=2，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）由题意设l：x=my-2，代入椭圆E$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1并整理可得（m²+2）y²-4my+2=0，
由△=16m²-8（m²+2）＞0可解得m²＞2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，①y₁y₂=$\frac{2}{{m}^{2}+2}$，②，
由$\overrightarrow{PB}$=3$\overrightarrow{PA}$可得y₂=3y₁，③，由①②③解得m²=4符合m²＞2
不妨取m=2，则线段AB的垂直平分线方程为y=-2x-$\frac{2}{3}$，
则所求圆的圆心为（-$\frac{1}{3}$，0），又可得B（0，1），
∴圆的半径r=$\frac{\sqrt{10}}{3}$
∴所求圆的方程为（x+$\frac{1}{3}$）²+y²=$\frac{10}{9}$

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，设计椭圆的标准方程和圆的知识，属中档题．