Question

14．已知椭圆x²+2y²=1，过原点的两条直线l₁和l₂分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．
（1）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），用A、C的坐标表示点C到直线l₁的距离，并证明S=2|x₁y₂-x₂y₁|；
（2）设l₁与l₂的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，求面积S的值．

Answer 1

分析 （1）依题意，直线l₁的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l₁的距离d=$\frac{|{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$，再利用|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，可证得S=|AB|d=2|x₁y₂-x₂y₁|；当l₁与l₂时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；
（2）方法一：设直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为-$\frac{1}{2k}$，可得直线l₁与l₂的方程，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x}^{2}+2{y}^{2}=1\end{array}\right.$，可求得x₁、x₂、y₁、y₂，继而可求得答案．
方法二：设直线l₁、l₂的斜率分别为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，则$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，利用A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在椭圆x²+2y²=1上，可求得面积S的值．

解答 解：（1）依题意，直线l₁的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l₁的距离d=$\frac{|\frac{{y}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}}-{y}_{2}|}{\sqrt{1+{（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}）}^{2}}}$=$\frac{|{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$，
因为|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，所以S=|AB|d=2|x₁y₂-x₂y₁|；
当l₁与l₂时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；
（2）方法一：设直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为-$\frac{1}{2k}$，
设直线l₁的方程为y=kx，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x}^{2}+2{y}^{2}=1\end{array}\right.$，消去y解得x=±$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
根据对称性，设x₁=$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，则y₁=$\frac{k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
同理可得x₂=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，y₂=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，所以S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．
方法二：设直线l₁、l₂的斜率分别为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，则$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
所以x₁x₂=-2y₁y₂，
∴${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$=4${{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$=-2x₁x₂y₁y₂，
∵A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在椭圆x²+2y²=1上，
∴（${{x}_{1}}^{2}{{+2y}_{1}}^{2}$）（${{x}_{2}}^{2}{{+2y}_{2}}^{2}$）=${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$+4${{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$+2（${{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}$）=1，
即-4x₁x₂y₁y₂+2（${{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}$）=1，
所以（x₁y₂-x₂y₁）²=$\frac{1}{2}$，即|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以S=2|x₁y₂-x₂y₁|=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．