Question

10．已知函数f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，其中a为常数
（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；
（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=$\frac{1}{x}$，显然为奇函数，
当a≠0时，f（1）=a+1，f（-1）=a-1，f（1）≠f（-1），且f（1）+f（-1）≠0，
所以此时f（x）为非奇非偶函数．
（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=2ax-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
∵a∈（1，3），x∈[1，2]，
∴ax＞1，
∴ax³＞1，
∴2ax³-1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．