Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx+$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-$\sqrt{3}$sinx，-sinx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积以及二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调减区间，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）通过x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]时，求出相位的范围，然后利用三角函数的值域求解函数f（x）的取值范围．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx+$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-$\sqrt{3}$sinx，-sinx），
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosxcosx-$\sqrt{3}$cosxsinx-sinxsinx-$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x
=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得$kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z．
函数f（x）的单调递增区间$[kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5π}{6}]$，k∈Z；
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，可得：$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{3}]$，
-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$-\sqrt{3}$，2]．
函数f（x）的取值范围：[$-\sqrt{3}$，2]．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，向量的数量积增函数的单调性以及三角函数的值域的求法，考查计算能力．