Question

15．已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=4x上相异两点，且满足x₁+x₂=4，若AB的垂直平分线交x轴于点M，则AMB的面积的最大值是（　　）

• A． $\frac{16\sqrt{6}}{3}$
• B． 8
• C． $\frac{5\sqrt{15}}{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 通过设AB中点为P（2，t），可得直线AB的方程并与抛物线联立，利用韦达定理、两点间距离公式、面积公式及换元法计算即可．

解答 解：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意．
设AB中点为P（2，t），于是k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{t}$，
∴可设直线AB的方程为y-t=$\frac{2}{t}$（x-2），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y-t=\frac{2}{t}（x-2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得：y²-2ty+2t²-8=0，
∴y₁+y₂=2t，y₁y₂=2t²-8，
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{{t}^{2}}{4}）（4{t}^{2}-8{t}^{2}+32）}$=$\sqrt{\frac{4+{t}^{2}}{4}（32-4{t}^{2}）}$，
由k_AB•k_MP=-1，可得k_MP=-$\frac{t}{2}$，∴MP：y-t=-$\frac{t}{2}$（x-2），
令y=0，可得M（4，0），
∴|MP|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-t）^{2}}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$，
于是S_△MAB=$\frac{1}{2}$|AB|•|MP|=$\frac{1}{2}$（4+t²）$\sqrt{8-{t}^{2}}$，
令m=$\sqrt{8-{t}^{2}}$，则S=$\frac{1}{2}$（12-m²）•m=-$\frac{1}{2}$m³+6m，
∵S′=-$\frac{3}{2}$m²+6=-$\frac{3}{2}$（m+2）（m-2），
∴S′＞0⇒0＜m＜2，S′＜0⇒m＞2，
∴当m=2时，（S_△MAB）_max=8，此时t²=4．
故选：B．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、两点间距离公式、三角形面积公式、函数的单调性及换元法等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．