Question

7．已知一椭圆中心在坐标原点，左右焦点在x轴上，若其左焦点F₁（-c，0）（c＞0）到圆C：（x-2）²+（y-4）²=1上任意一点距离的最小值为4，且过椭圆右焦点F₂（c，0）与上顶点的直线与圆O：x²+y²=$\frac{1}{2}$相切
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=-x+m与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆与y轴相切时，求△F₁AB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出椭圆E的方程，由椭圆的右焦点到圆上任意一点的距离的最小值为4列式求得c，再写出过椭圆右焦点和上顶点的想方程，由直线和圆O相切列式求得b的值，结合隐含条件求出a，则椭圆E的方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由△＞0求得M的范围．利用弦长公式把圆的半径用含有m的代数式表示，由已知条件列式求得m的值，再求出点F₁到直线AB的距离，然后对m分类求得△F₁AB的面积．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆E为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），则椭圆的右焦点到圆上任意一点的距离的最小值为：
$\sqrt{（-c-2）^{2}+{4}^{2}}-1=4$，又c＞0，∴c=1．
过椭圆右焦点和上顶点的想方程为$\frac{x}{1}+\frac{y}{b}=1$，即bx+y-b=0．
由直线和圆O相切可得$\frac{|-b|}{\sqrt{1+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得b=1，∴a²=b²+c²=2．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$，可得3x²-4mx+2m²-2=0．
则△=（-4m）²-12（2m²-2）＞0，即m²＜3．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
则AB的中点横坐标为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{2m}{3}$．
则以AB为直径的圆的半径为r=$\frac{1}{2}|AB|=\frac{\sqrt{2}}{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．
由条件可得$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=|\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}|$．
整理可得$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}=8{x}_{1}{x}_{2}$，即$（\frac{4m}{3}）^{2}=8•\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
∴${m}^{2}=\frac{3}{2}＜3$，解得$m=-\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
此时，|AB|=$\sqrt{（1+1）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}=\sqrt{2[\frac{16{m}^{2}}{9}-\frac{4（2{m}^{2}-2）}{3}]}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
点F₁到直线AB的距离为d=$\frac{|-1-m|}{\sqrt{2}}$，
∴当m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，△F₁AB的面积为S=$\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{\sqrt{2}}（1+\frac{\sqrt{6}}{2}）=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{6}$．
当m=$-\frac{\sqrt{6}}{2}$时，△F₁AB的面积为S=$\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{\sqrt{2}}（-1+\frac{\sqrt{6}}{2}）=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．