Question

14．某校鲁班学习小组利用课余时间模拟制作奥运圣火采集器，已知他们制作采集器的抛物面的轴切线为经过定点P（1，2）的抛物线，则该抛物线的焦点与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在一三象限内的渐近线的距离为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$或$\frac{1}{16}$
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{1}{16}$

Answer 1

分析 求出抛物线的方程，可得焦点坐标，利用点到直线的距离公式，可得结论．

解答 解：由题设抛物线的标准方程为y²=2p₁x或x²=2p₂y，则2²=2p₁，∴p₁=2，
从而焦点坐标为（1，0），
同理p₂=$\frac{1}{4}$，从而焦点坐标为（0，$\frac{1}{8}$），
又双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在一三象限内的渐近线的方程为y-$\sqrt{3}$x=0，
∴该抛物线的焦点与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在一三象限内的渐近线的距离为$\frac{|（-\sqrt{3}）×1+0×1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
或$\frac{|（-\sqrt{3}）×0+\frac{1}{8}×1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{16}$，
故选：D．

点评 本题考查抛物线、双曲线的性质，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．