Question

3．如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧$\widehat{AB}$的中点，E为劣弧$\widehat{CB}$的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P-AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．

Answer 1

分析 由条件便知PO为三棱锥P-AOC的高，底面积S_△AOC又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．

解答 解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；
∴${V}_{三棱锥P-AOC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2=\frac{1}{3}$；
E为劣弧$\widehat{CB}$的中点；
∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；
∴OE∥AC；
∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；
在△ACP中，AC=$\sqrt{2}$，$AP=CP=\sqrt{5}$；
如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=$\frac{AH}{AP}=\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．