Question

11．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{1}&{1}\end{array}]$，B=$[\begin{array}{l}{0}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$．
（1）求满足条件AM=B的矩阵M；
（2）矩阵M对应的变换将曲线C：x²+y²=1变换为曲线C′，求曲线C′的方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求满足条件AM=B的矩阵M；
（2）建立曲线C上任意一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下变为点P′（x′，y′）的关系，将点P（x，y）的坐标代入圆的方程即可求出．

解答 解：（1）设M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，
AM=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{1}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{a+c}&{b+d}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，
得a=0，b=2，c=3，d=0．
∴M=$[\begin{array}{l}{0}&{2}\\{3}&{0}\end{array}]$．
（2）设曲线C上任意一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下变为点P′（x′，y′），
则M$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2y}\\{3x}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，
∴2y=x′，3x=y′
即y=$\frac{x′}{2}$，x=$\frac{y′}{3}$
代入曲线C：x²+y²=1，得（$\frac{x′}{2}$）²+（$\frac{y′}{3}$）²=1．
∴曲线C′的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想．