Question

3．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=3S₂+2，a_2n=2a_n，
（1）求等差数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）令b_n=$\frac{2n+1}{（n+1）^{2}{{a}_{n}}^{2}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n．证明：对任意n∈N^*，都有$\frac{3}{16}$≤T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）通过S₄=3S₂+2、a_2n=2a_n计算即可；
（2）通过分离分母，并项相加即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则由S₄=3S₂+2、a_2n=2a_n，得$\left\{{\begin{array}{l}{4{a_1}+6d=3（2{a_1}+d）+2}\\{{a_1}+（2n-1）d=2[{a_1}+（n-1）d]}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=2}\end{array}}\right.$，所以${a_n}=2n，n∈{N^*}$；
（2）因为${a_n}=2n，n∈{N^*}$，
所以${b_n}=\frac{2n+1}{{{{（n+1）}^2}4{n^2}}}=\frac{1}{4}[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}]$，
则${T_n}=\frac{1}{4}[1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}]$=$\frac{1}{4}[1-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}]$．
因为n≥1，n∈N^*，所以$\frac{3}{16}≤{T_n}＜\frac{1}{4}$．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，分离分母且并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．