Question

18．已知双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使$\frac{sin∠PF{{\;}_{2}F}_{1}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=e，Q点为直线PF₁上的一点，且$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$，则$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{F{{\;}_{2}F}_{1}}$的值为（　　）

• A． $\frac{25}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则由正弦定理可得$\frac{m}{n}$=$\frac{c}{a}$=2，结合双曲线的定义，可得m，n，再利用$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$，结合余弦定理，利用向量的数量积公式，求出$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{F{{\;}_{2}F}_{1}}$的值．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则由正弦定理可得$\frac{m}{n}$=$\frac{c}{a}$=2，
∴m=2n，
∵m-n=2，
∴m=4，n=2，
∵$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=3，|$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$|=1，
△PF₁F₂中，cos∠PF₁F₂=$\frac{16+16-4}{2×4×4}$=$\frac{7}{8}$，
△QF₁F₂中，|QF₂|=$\sqrt{1+16-2×1×4×\frac{7}{8}}$=$\sqrt{10}$，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{F{{\;}_{2}F}_{1}}$=$\frac{16+10-1}{2}$=$\frac{25}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的定义与性质，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．