Question

13．抛物线C：x²=4y，直线l₁：y=kx交C于点A，交准线于点M．过点M的直线l₂与抛物线C有唯一的公共点B（A，B在对称轴的两侧），且与x轴交于点N．
（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；
（Ⅱ）求S_△AOB：S_△MON的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线的标准方程求出p的值，写出它的准线方程；
（Ⅱ）根据直线方程与抛物线的方程求出点A、B、M、N的坐标，表示出△MON与△AOB的面积，求出S_△AOB：S_△MON的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）如图所示，
∵抛物线C：x²=4y，
∴p=2，
∴抛物线的准线方程为y=-1；…（4分）
（Ⅱ）不妨设点A在y轴的左侧，则M（-$\frac{1}{k}$，-1），
设l₂的斜率为m，
∴它的直线方程为y+1=m（x+$\frac{1}{k}$），
与抛物线方程联立得$\left\{\begin{array}{l}{y+1=m（x+\frac{1}{k}）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，
消去y得，x²-4mx+4-$\frac{4m}{k}$=0，…（6分）
∴△=16m²-4（4-$\frac{4m}{k}$）=0，
解得$\frac{1}{k}$=$\frac{1{-m}^{2}}{m}$＜0；…（8分）
∴B（2m，m²），且m＞1；
A（4k，4k²），N（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{k}$，0），ON=|$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{k}$|=m，
∴△MON的面积为S_△MON=$\frac{1}{2}$m；…（10分）
又点B到l₁的距离为d=$\frac{|2km{-m}^{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
OA=4|k|$\sqrt{1{+k}^{2}}$，
∴△AOB的面积为
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•d=2|k||2km-m²|=$\frac{|2m|{|m}^{2}{+m}^{4}|}{{（1{-m}^{2}）}^{2}}$；…（12分）
∴S_△AOB：S_△MON=$\frac{4{（m}^{2}{+m}^{4}）}{{（1{-m}^{2}）}^{2}}$；
令1-m²=t，（t＜0），
则S_△AOB：S_△MON=8${（\frac{1}{t}-\frac{3}{4}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$＞4．…（14分）
∴S_△AOB：S_△MON的取值范围是（4，+∞）．

点评 本题考查了抛物线的定义与几何性质的应用问题，也考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查了点到直线的距离以及求三角形的面积的应用问题，是综合性题目．