Question

5．已知向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{a}$=（1，-2）的夹角为π，|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{5}$，点A的坐标为（3，-4）．则点B坐标为（　　）

• A． （1，0）
• B． （0，1）
• C． （5，-8）
• D． （-8，5）

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积的定义求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{AB}$，设出点B的坐标，再利用两个向量的数量积公式求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{AB}$，可得a、b的一个关系式．再根据向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{a}$=（1，-2）的夹角为π，再得到一个关于a、b的关系式，解方程组求得a、b的值，可得点B坐标．

解答 解：由题意可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•cosπ=$\sqrt{5}$•2$\sqrt{5}$•（-1）=-10．
设点B的坐标为（a，b），则$\overrightarrow{AB}$=（a-3，b+4），由 $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{AB}$=1×（a-3）+（-2）（b+4）=-10，
求得a-2b=1 ①．
再根据向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{a}$=（1，-2）的夹角为π，可得（a-3，b+4）=k（1，-2），k＜0，即 b=2-2a ②．
结合①②求得a=1，b=0，故点B的坐标为（1，0），
故选：A．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，属于基础题．