Question

1．如图，在三棱锥P-ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．
（1）求三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，连结PO，BO，证明OP⊥平面ABC，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

解答 解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，
∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，
又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC…（2分），
∴OP⊥OB，∴OP²+OB²=PB²，
即16-OC²+4-OC²=16，得OC=$\sqrt{2}$，
则OA=$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{2}$，OP=$\sqrt{14}$，AC=2$\sqrt{2}$，…（4分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•\sqrt{2}$=2．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}•2•\sqrt{14}$=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$．…（6分）
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．
得O（0，0，0），A（0，-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），P（0，0，$\sqrt{14}$），…（8分）
∴$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$），$\overrightarrow{BP}$=（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{14}$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}x+\sqrt{14}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$，1）．（10分）
∵$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$），
∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{14}}{2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{210}}{15}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，正确运用向量方法是关键．