Question

6．已知抛物线C：y²=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．
（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；
（2）若点M为直线x=-a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理可得结论；
（2）设M（-a，t），通过计算2k_MQ与k_MA+k_MB的值即得结论．

解答 解：（1）设直线AB的方程为：my=x-a，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{my=x-a}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x可得：y²-4my-4a=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•a•|y₁-y₂|=2a$\sqrt{a+{m}^{2}}$，
所以当m=0时，S_△AOB有最小值2a$\sqrt{a}$；
（2）结论：直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．
证明如下：
设M（-a，t），∴k_MQ=$\frac{t}{-2a}$，
而k_MA+k_MB=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}+a}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}+a}$=$\frac{\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}（{y}_{1}+{y}_{2}）+a（{y}_{1}+{y}_{2}）-t（{x}_{1}+{x}_{2}）-at}{{x}_{1}{x}_{2}+a（{x}_{1}+{x}_{2}）+{a}^{2}}$      （*）
因为x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$=a²，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2a=4m²+2a，
代入（*）式，可得k_MA+k_MB=$\frac{-4t（a+{m}^{2}）}{4a（a+{m}^{2}）}$=-$\frac{t}{a}$，
∴k_MA+k_MB=2k_MQ，
所以直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、斜率的计算、等差中项的性质、三角形的面积计算公式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．