Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC＜2，E是PB的中点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若直线PA与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$，求平面PAC与平面ACE夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得AC⊥PC，再由勾股定理可得AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，进而可判平面EAC平面PBC；
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，分别可得平面PAC和EAC的法向量，待定系数可得a值，由向量的夹角公式可得答案．

解答 解：（1）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，∴平面EAC平面PBC；
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0），
设P（0，0，a）（a＞0），则E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，a）（a＞0），
$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-a），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面PAC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0）
同理平面EAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2），
依题意，设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2a}{\sqrt{{a}^{2}+2}•\sqrt{2{a}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
解得a=1，或a=2（舍去，此时不满足PC＜2），
∴$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查空间向量法解决立体几何问题，涉及平面与平面垂直的判定，属中档题．