Question

9．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，则（　　）

• A． f（x）为偶函数
• B． f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增
• C． x=$\frac{π}{2}$为f（x）的图象的一条对称轴
• D． （$\frac{π}{2}$，0）为f（x）的图象的一个对称中心

Answer 1

分析 利用两角和差的正弦公式将函数f（x）进行化简，利用函数的周期求出ω即可得到结论．

解答 解：f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$）=f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{2}$）
=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cosωx+$\frac{π}{3}$）
=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=2sinωx．
∵f（x）的最小正周期为π，
∴T=$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=2，
即f（x）=2sin2x．
∵f（$\frac{π}{2}$）=2sin（2×$\frac{π}{2}$）=2sinπ=0，
∴（$\frac{π}{2}$，0）为f（x）的图象的一个对称中心．
故选：D

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式求出ω是解决本题的关键．