Question

1．已知a，b∈R，函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{a}{2}{x}^{2}+bx$有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），f（x₂）=x₂，则方程f²（x）-af（x）-b=0的实根个数（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 由函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{a}{2}{x}^{2}+bx$有两个极值点x₁，x₂，可得x²-ax-b=0有两个不相等的根，必有△=a²+4b＞0．而方程f²（x）-af（x）-b=0的△₁=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x₁或x₂．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x₁或f（x）=x₂解的个数．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{a}{2}{x}^{2}+bx$，
∴f′（x）=-x²+ax+b，
由题意知x₁，x₂是函数的两个极值点，
∴x²-ax-b=0有两个不相等的根，
∴△=a²+4b＞0．
∵x₁＜x₂，
∴x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4b}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4b}}{2}$．
而方程f²（x）-af（x）-b=0的△₁=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x₁或x₂
即有0＜x₁＜x₂，f（x₂）＞0．
①把y=f（x）向下平移x₂个单位即可得到y=f（x）-x₂的图象，
∵f（x₂）=x₂，可知方程f（x）=x₂有两解．
②把y=f（x）向下平移x₁个单位即可得到y=f（x）-x₁的图象，
∵f（x₂）=x₂，∴f（x₂）-x₁＞0，可知方程f（x）=x₁只有一解．
综上①②可知：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂只有3个实数解．
即关于x的方程f²（x）-af（x）-b=0的只有3不同实根．
故选：B．

点评 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了图象平移的思想方法、推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．