Question

6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C₁：$psin（θ+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-2sinα}\\{y=-1+2cosα}\end{array}$，（α为参数）．
（Ⅰ） 求曲线C₁的直角坐标方程与曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ） 求曲线C₂上的点到曲线C₁的点的最小距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁：$psin（θ+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，展开代入$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可化为直角坐标方程．利用sin²α+cos²α=1可把曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-2sinα}\\{y=-1+2cosα}\end{array}$，（α为参数），化为普通方程．
（II）利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，即可得出最小距离．

解答 解：（Ⅰ）由曲线C₁：$psin（θ+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，化为直角坐标方程：x+y-2=0．
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-2sinα}\\{y=-1+2cosα}\end{array}$，（α为参数），消去参数可得（x+1）²+（y+1）²=4．
（Ⅱ） 曲线C₂表示圆心为（-1，-1），半径r=2的圆，
圆心到直线的距离d$\frac{|-1-1-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$＞2，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为$2\sqrt{2}$-2．．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．