Question

7．已知F是抛物线x²=4y的焦点，直线y=kx-1与该抛物线交于第一象限内的零点A，B，若|AF|=3|FB|，则k的值是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，利用抛物线的定义表示出|AF|与|FB|，
再利用直线与抛物线方程组成方程组，结合根与系数的关系，求出k的值即可．

解答 解：如图所示，
抛物线方程为x²=4y，
∴p=2，准线方程为y=-1，焦点坐标为F（0，1）；
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AF|=y₁+$\frac{p}{2}$=y₁+1，|FB|=y₂+$\frac{p}{2}$=y₂+1；
∵|AF|=3|FB|，
∴y₁+1=3（y₂+1），即y₁=3y₂+2；
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，
消去x，得y²+（2-4k²）y+1=0，
由根与系数的关系得，y₁+y₂=4k²-2，
即（3y₂+2）+y₂=4k²-2，
解得y₂=k²-1；
代入直线方程y=kx-1中，得x₂=k，
再把x₂、y₂代入抛物线方程x²=4y中，
得k²=4k²-4，
解得k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，或k=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（不符合题意，应舍去），
∴k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．