Question

9．已知x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{2}$，求实数b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由原函数有两个极值点，利用极值点处的导数等于0求得a，b的值，则函数解析式可求；
（Ⅱ）根据x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点，得到导函数的判别式大于0恒成立，再借助于根与系数关系得到x₁，x₂异号，由
|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{2}$，得到a，b关系，把b看作关于a的函数后求导得到实数b的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）．
∵x₁=-1，x₂=2是函数f（x）的两个极值点，
∴f′（-1）=0，f′（2）=0，
即3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x³-9x²-36x；
（Ⅱ）∵x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点，
∴${f}^{′}（{x}_{1}）={f}^{′}（{x}_{2}）=0$，
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0（a＞0）的两根，
则△=4b²+12a³＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，
而${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2b}{3a}$，x₁x₂=-$\frac{a}{3}$，又a＞0，∴x₁x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2b}{3a}）^{2}-4（-\frac{a}{3}）}=\sqrt{\frac{4{b}^{2}}{9{a}^{2}}+\frac{4}{3}a}$，
由$|{x}_{1}|+|{x}_{2}|=2\sqrt{2}$，得$\sqrt{\frac{4{b}^{2}}{9{a}^{2}}+\frac{4}{3}a}=2\sqrt{2}$，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，∴3a²（6-a）≥0，即0＜a≤6．
令h（a）=3a²（6-a），则h′（a）=-9a²+36a．
当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）上是增函数；
当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（4，6）上是减函数．
∴当a=4时，h（a）有极大值为96，
即h（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值是4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化、化归等思想方法，训练了二次函数有两不等根条件的应用，是压轴题．