Question

17．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=5．
（1）求椭圆的方程；
（2）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系和弦长AB，CD，解方程可得c，进而得到椭圆方程；
（2）讨论①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设出直线AB的方程，可得CD的方程，分别代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由四边形的面积公式，结合基本不等式即可得到取值范围．

解答 解：（1）由题意知，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
∴AB+CD=2a+$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$c+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c=5，
所以c=$\sqrt{3}$．所以椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．             
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知S_四边形=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}×4×1$=2；      
②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
且设直线AB的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），
则直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-$\sqrt{3}$）．
将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
所以AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
同理CD=$\frac{4（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}{1+\frac{4}{{k}^{2}}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$．             
所以S_四边形=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$=$\frac{8（1+{k}^{2}）^{2}}{4{k}^{4}+4+17{k}^{2}}$
=$\frac{8（k+\frac{1}{k}）^{2}}{4（k+\frac{1}{k}）^{2}+9}$=2-$\frac{18}{4（k+\frac{1}{k}）^{2}+9}$，
由4（k+$\frac{1}{k}$）²+9≥4（2$\sqrt{k•\frac{1}{k}}$）²+9=25，当且仅当k=±1时取等号．
∴S_四边形∈[$\frac{32}{25}$，2），
综合①与②可知，S_四边形∈[$\frac{32}{25}$，2）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，运用基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题．