Question

11．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）在第一象限的部分与过点A（2，0）、B（0，1）的直线相切于点T，且椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（2）设F₁，F₂为椭圆的左，右焦点，M为线段AF₂的中点，求证：∠ATM=∠AF₁T．

Answer 1

分析 （I）利用椭圆的标准及其性质、直线与椭圆相切?△=0，即可得出；
（2）由（I）可得：T$（1，\frac{1}{2}）$，利用斜率计算公式可得：${k}_{{F}_{1}T}$=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$=tan∠AF₁T．由M为线段AF₂的中点，可得M$（1+\frac{\sqrt{6}}{4}，0）$，又k_TM=$-\frac{\sqrt{6}}{3}$，利用到角公式可得tan∠ATM=$\frac{{k}_{AT}-{k}_{TM}}{1+{k}_{AT}{k}_{TM}}$=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$，即可证明．

解答 解：（I）∵椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，∴a²=b²+c²=4b²，
椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）化为x²+4y²=4b²．
直线AB的方程为：$\frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1$，化为x+2y=2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4{b}^{2}}\end{array}\right.$，化为x²-2x+2-2b²=0，
∵直线与椭圆相切，∴△=4-4（2-2b²）=0，解得b²=$\frac{1}{2}$，∴a²=2．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+2{y}^{2}$=1．
（2）由（I）可得：T$（1，\frac{1}{2}）$，${F}_{1}（-\frac{\sqrt{6}}{2}，0）$，F₂$（\frac{\sqrt{6}}{2}，0）$．
∴${k}_{{F}_{1}T}$=$\frac{\frac{1}{2}-0}{1+\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$=tan∠AF₁T．
∵M为线段AF₂的中点，∴M$（1+\frac{\sqrt{6}}{4}，0）$，
∴k_TM=$\frac{\frac{1}{2}}{1-（1+\frac{\sqrt{6}}{4}）}$=$-\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴tan∠ATM=$\frac{{k}_{AT}-{k}_{TM}}{1+{k}_{AT}{k}_{TM}}$=$\frac{-\frac{1}{2}-（-\frac{\sqrt{6}}{3}）}{1+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$，
∴tan∠ATM=tan∠AF₁T，且∠ATM与∠AF₁T都是锐角．
∴∠ATM=∠AF₁T．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立可得△=0、斜率计算公式、到角公式、线段中点坐标公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．