Question

4．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+$\sqrt{2}$=0相切，另一条直线l与椭圆C交与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，设$\overrightarrow{m}$=（2x₁，y₁），$\overrightarrow{n}$=（2x₂，y₂），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：△ABC的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+$\sqrt{2}$=0相切，可得$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=b=1，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得即可得出椭圆C的标准方程
（2）当直线l斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得4x₁x₂+y₁y₂=0，${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}^{2}$，又A（x₁，y₁）在椭圆上，代入可得S_△AOB=$\frac{1}{2}|{x}_{1}|•2|{y}_{1}|$=1为定值．
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+t，与椭圆方程联立化为（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0，△＞0，化为k²+4＞t²．利用$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得4x₁x₂+y₁y₂=0，可得y₁y₂，化为2t²-k²=4．利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，原点O到直线AB的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即可得出S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|•d$．

解答 （1）解：以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+$\sqrt{2}$=0相切，
∴$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=b=1，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$
（2）证明：当直线l斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，
由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}^{2}$，
又A（x₁，y₁）在椭圆上，∴$\frac{4{x}_{1}^{2}}{4}+{x}_{1}^{2}$=1，
解得${x}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$，${y}_{1}^{2}$=2．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}|{x}_{1}|•2|{y}_{1}|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=1为定值．
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+t，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化为（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0，
△=4k²t²-4（k²+4）（t²-4）＞0，化为k²+4＞t²．
∴x₁+x₂=$\frac{-2kt}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$．
∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²，
∴（4+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0，
∴$\frac{（4+{k}^{2}）（{t}^{2}-4）}{4+{k}^{2}}$-$\frac{2{k}^{2}{t}^{2}}{4+{k}^{2}}$+t²=0，化为2t²-k²=4．
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{（4+{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（{t}^{2}-4）}{{k}^{2}+4}]}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{k}^{2}+4-{t}^{2}}}{4+{k}^{2}}$，
原点O到直线AB的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=2×$\frac{|t|\sqrt{{k}^{2}+4-{t}^{2}}}{4+{k}^{2}}$=$\frac{2|t|\sqrt{{t}^{2}}}{2{t}^{2}}$=1为定值．
综上可得：△ABC的面积为定值1．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积运算、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．