Question

13．高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数x与答题正确率y%的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据：

x	1	2	3	4
y	20	30	50	60

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并预测答题正确率是100%的强化训练次数；
（Ⅱ）若用$\frac{y_i}{{{x_i}+3}}$（i=1，2，3，4）表示统计数据的“强化均值”（精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间[0，2）内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$．
样本数据x₁，x₂，…，x_n的标准差为：s=$\sqrt{\frac{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}{n}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出样本中心，回归直线方程的几何量，即可求y关于x的线性回归方程，然后预测答题正确率是100%的强化训练次数；
（Ⅱ）求出这四组数据的“强化均值”分别是5，6，8，9，求解方差，判断结果即可．

解答 解：（Ⅰ）由所给数据计算得$\overline{x}$=$\frac{1+2+3+4}{4}$=2.5，$\overline{y}$=$\frac{20+30+50+60}{4}=40$，
$\sum _{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=70，$\sum _{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}=5$，
$\widehat{b}=\frac{\sum _{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{4}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}=14$，$\widehat{a}=y-\widehat{b}\overline{x}$=5，
所求回归方程是$\hat{y}=14x+5$，
由100=14x+5，得x=6.79，…（6分）
预测答题正确率是100%的测强化训练次数为7次；
（Ⅱ）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别是5，6，8，9，
平均数是7，“强化均值”的标准差是
s=$\sqrt{\frac{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}{n}}$=$\sqrt{\frac{（5-7）^{2}+（{6-7）}^{2}+（8-7）^{2}+（9-7）^{2}}{4}}$=$\sqrt{2.5}＜2$，
这个班的强化训练有效．…（12分）

点评 本题考查回归直线方程的求法，方差的求法，考查计算能力．