Question

8．数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=1，a_n+2=$\frac{1}{{{a_n}+1}}$，若a₂₀=a₁₆，则a₂+a₃=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$

Answer 1

分析 由数列递推式求出a₃，结合a₂₀=a₁₆求得a₁₆，然后由a_n+2=$\frac{1}{{{a_n}+1}}$，可得a₁₆=a₂，则答案可求．

解答 解：由a₁=1，a_n+2=$\frac{1}{{{a_n}+1}}$，得${a}_{3}=\frac{1}{{a}_{1}+1}=\frac{1}{2}$．
${a}_{20}=\frac{1}{{a}_{18}+1}=\frac{1}{\frac{1}{{a}_{16}+1}+1}={a}_{16}$，
即${{a}_{16}}^{2}+{a}_{16}-1=0$．
∵a_n＞0，∴${a}_{16}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
则由a_n+2=$\frac{1}{{{a_n}+1}}$及${a}_{16}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$求得${a}_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
∴a₂+a₃=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推式，解答此题的关键是对数列规律性的发现，是中档题．