Question

1．已知椭圆E的中心在坐标原点O，其焦点与双曲线C：${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的焦点重合，且椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过双曲线C的右顶点A作直线l与椭圆E交于不同的两点P、Q．
①设M（m，0），当$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$为定值时，求m的值；
②设点N是椭圆E上的一点，满足ON∥PQ，记△NAP的面积为S₁，△OAQ的面积为S₂，求S₁+S₂的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，确定c，利用椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，可得a=2b，利用a²=b²+c²，求出a，b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）①分类讨论，设l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，可得结论；②确定S₁+S₂=S_△OPQ，求出|PQ|，可得面积，换元确定面积的范围即可求S₁+S₂的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在x轴上，设方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，其左右焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），∴c=$\sqrt{3}$，
∵椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，
∴a=2b，
∵a²=b²+c²，
∴a=2，b=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）①双曲线C右顶点为A（1，0），
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
设直线l与椭圆E交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{QM}$=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂=
=$\frac{1}{4}$（4m²-8m+1）+$\frac{2m-\frac{17}{4}}{4{k}^{2}+1}$，
当2m-$\frac{17}{4}$=0，即m=$\frac{17}{8}$时，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{QM}$=$\frac{33}{64}$．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，代入椭圆方程可得x=1，y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
不妨设P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由M（$\frac{17}{8}$，0）可得$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{9}{8}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{QM}$=（$\frac{9}{8}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{QM}$=$\frac{33}{64}$，
综上所述，m=$\frac{17}{8}$时，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{QM}$为定值$\frac{33}{64}$；
②∵ON∥PQ，
∴S_△NAP=S_△OAP，
∴S₁+S₂=S_△OPQ，
∵|PQ|=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3{k}^{2}+1}}{4{k}^{2}+1}$，
∵原点O到直线PQ的距离为d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$（k≠0），
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}|PQ|d$=$\sqrt{\frac{4{k}^{2}（3{k}^{2}+1）}{（4{k}^{2}+1）^{2}}}$
令t=4k²+1，则k²=$\frac{t-1}{4}$（t＞1），
∴S=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{3{t}^{2}-2t-1}{{t}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-（\frac{1}{t}+1）^{2}+4}$，
∵t＞1，
∴0＜$\frac{1}{t}$＜1，
∴0＜-$（\frac{1}{t}+1）^{2}$+4＜3，
∴0＜S＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
当直线l的斜率不存在时，S_△OPQ=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
综上所述，S₁+S₂的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，有难度．