Question

12．A、B是半径为2的圆O上的两点，M是弦AB上的动点，若△AOB为直角三角形，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$的最小值为（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． 2

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OM}$表示成$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}$，从而$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$=$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}）•\overrightarrow{AM}$，根据已知条件有∠OAB=45°，$|\overrightarrow{OA}|=2$，进行数量积的运算后可得到$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}={\overrightarrow{AM}}^{2}+\sqrt{2}|\overrightarrow{AM}|$，从而得到$|\overrightarrow{AM}|=0$时，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$取得最小值．

解答 解：如图，根据条件知OA⊥OB，∠OAB=45°；
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}）•\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AM}+{\overrightarrow{AM}}^{2}$
=-$\sqrt{2}|\overrightarrow{AM}|+|\overrightarrow{AM}{|}^{2}$；
∴|$\overrightarrow{AM}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$取最小值-$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 考查向量加法的几何意义，以及数量积的计算公式，知道若△AOB是直角三角形，一定∠AOB为直角．