Question

12．已知函数f（x）=4x-x⁴，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：x₂-x₁≤-$\frac{a}{3}$+4${\;}^{\frac{1}{3}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；
（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x₀）（x-x₀），构造辅助函数F（x）=f（x）-g（x），利用导数得到对于任意实数x，
有F（x）≤F（x₀）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，$g（x）=-12（x-{4}^{\frac{1}{3}}）$，求出方程g（x）=a的根${x}_{2}′=-\frac{a}{12}+{4}^{\frac{1}{3}}$，由g（x）在（-∞，+∞）上单调递减，得到x₂≤x₂′．
同理得到x₁′≤x₁，则可证得${x}_{2}-{x}_{1}≤{x}_{2}′-{x}_{1}′=-\frac{a}{3}+{4}^{\frac{1}{3}}$．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=4x-x⁴，可得f′（x）=4-4x³．
当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x₀，0），则${x}_{0}={4}^{\frac{1}{3}}$，f′（x₀）=-12，
曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x₀）（x-x₀），即g（x）=f′（x₀）（x-x₀），
令函数F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀），
则F′（x）=f′（x）-f′（x₀）．
∵F′（x₀）=0，∴当x∈（-∞，x₀）时，F′（x）＞0；当x∈（x₀，+∞）时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（-∞，x₀）上单调递增，在（x₀，+∞）上单调递减，
∴对于任意实数x，F（x）≤F（x₀）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，$g（x）=-12（x-{4}^{\frac{1}{3}}）$，设方程g（x）=a的根为x₂′，可得${x}_{2}′=-\frac{a}{12}+{4}^{\frac{1}{3}}$．
∵g（x）在（-∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x₂）≥f（x₂）=a=g（x₂′），
因此x₂≤x₂′．
类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，
对于任意的x∈（-∞，+∞），有f（x）-h（x）=-x⁴≤0，即f（x）≤h（x）．
设方程h（x）=a的根为x₁′，可得${x}_{1}′=\frac{a}{4}$，
∵h（x）=4x在（-∞，+∞）上单调递增，且h（x₁′）=a=f（x₁）≤h（x₁），
因此x₁′≤x₁，
由此可得${x}_{2}-{x}_{1}≤{x}_{2}′-{x}_{1}′=-\frac{a}{3}+{4}^{\frac{1}{3}}$．

点评 本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．