Question

11．若复数z=（a²-4）+（a+2）i为纯虚数，则$\frac{a+{i}^{2015}}{1+2i}$的值为-i．

Answer 1

分析 由复数为纯虚数求得a值，代入$\frac{a+{i}^{2015}}{1+2i}$，利用虚数单位i的运算性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解答 解：∵复数z=（a²-4）+（a+2）i为纯虚数，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4=0}\\{a+2≠0}\end{array}\right.$，解得：a=2．
又i²⁰¹⁵=i²⁰¹⁴•i=（i²）¹⁰⁰⁷•i=-i，
∴$\frac{a+{i}^{2015}}{1+2i}$=$\frac{2-i}{1+2i}=\frac{（2-i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=\frac{-5i}{5}=-i$．
故答案为：-i．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．