Question

7．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，然后由棱柱的体积公式得答案．

解答 解：如图，

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，
∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，
再设球的半径为r，由球O的表面积为7π，得4πr²=7π，∴$r=\frac{\sqrt{7}}{2}$．
设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，且球心O到上底面中心H的距离OH=$\frac{a}{2}$，
∴${r}^{2}=（\frac{a}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}$，即r=$\frac{\sqrt{21}}{6}a$，
∴a=$\sqrt{3}$．
则三棱柱的底面积为S=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}×\sqrt{3}=\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．