Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1（a＞0）的右焦点F，直线l₀过点F且l₀⊥x轴，l₀与C相交于A，B两点，|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过C上一点P（x₀，y₀）（y₀≠0）的直线l：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}+{y}_{0}$y=1与直线l0相交于点M，与直线l₁：x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$相交于点N，证明：点P在C上移动时，$\frac{|MF|}{|NF|}$恒为定值，并求此定值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出右焦点F的坐标，再求出点A的坐标代入椭圆C的方程求出a，即可求出椭圆C的方程；
（2）由（1）得求出右焦点F的坐标、直线l和l₀的方程，分别联立直线方程后求出M、N的坐标，利用两点之间的距离公式、点P在椭圆上化简$\frac{|MF|}{|NF|}$即可．

解答 解：（1）由题意得，椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1（a＞0），
∴右焦点F的坐标是（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
∵直线l₀过点F且l₀⊥x轴，l₀与C相交于A，B两点，
∴由|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$得，A（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$得，$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}+\frac{1}{3}=1$，解得a²=3，
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
证明：（2）由（1）得，右焦点F的坐标是（$\sqrt{2}$，0），
且直线l的方程是$\frac{{x}_{0}x}{3}+{y}_{0}y=1$，直线l₀的方程是x=$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{3}+{y}_{0}y=1}\\{x=\sqrt{2}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=\frac{1}{{y}_{0}}（1-\frac{\sqrt{2}}{3}{x}_{0}）}\end{array}\right.$，
∴M的坐标是（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{{y}_{0}}（1-\frac{\sqrt{2}}{3}{x}_{0}）$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{3}+{y}_{0}y=1}\\{x=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{1}{{y}_{0}}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}）}\end{array}\right.$，
∴N的坐标是（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{{y}_{0}}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}）$），
∵点P（x₀，y₀）（y₀≠0）在椭圆C上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+{{y}_{0}}^{2}=1$，则${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$，
∴$\frac{|MF|}{|NF|}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}}（1-\frac{\sqrt{2}}{3}{x}_{0}）^{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2{（1-\frac{\sqrt{2}}{3}{x}_{0}）}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}+2{（1-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}）}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2（1-\frac{2\sqrt{2}}{3}{x}_{0}+\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{9}）}{1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+2（1-\sqrt{2}{x}_{0}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}）}}$
=$\sqrt{\frac{2（1-\frac{2\sqrt{2}}{3}{x}_{0}+\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{9}）}{3-2\sqrt{2}{x}_{0}+\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{3}}}$=$\sqrt{\frac{2（1-\frac{2\sqrt{2}}{3}{x}_{0}+\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{9}）}{3（1-\frac{2\sqrt{2}}{3}{x}_{0}+\frac{{{2x}_{0}}^{2}}{9}）}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴点P在C上移动时，$\frac{|MF|}{|NF|}$恒为定值：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查椭圆的方程与性质，点与椭圆位置关系，以及直线的交点坐标问题，考查化简、变形能力，属于中档题．