Question

13．设F₁、F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2$\sqrt{3}$，则∠F₁PF₂=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由题意方程求得焦距，利用平面向量的减法运算得到$\overrightarrow{P{F}_{1}}-\overrightarrow{P{F}_{2}}=\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$，与已知|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2$\sqrt{3}$同时两边平方后可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，由此可得答案．

解答 解：如图，

由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}-\overrightarrow{P{F}_{2}}=\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$，则$（\overrightarrow{P{F}_{1}}-\overrightarrow{P{F}_{2}}）^{2}={\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}}^{2}$，
即$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}-2\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}=|\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}{|}^{2}$=12，
由|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2$\sqrt{3}$，得$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+2\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}=12$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，即$\overrightarrow{P{F}_{1}}⊥\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．