Question

5．在四棱锥V-ABCD中，B₁，D₁分别为侧棱VB、VD的中点，则四面体AB₁CD₁的体积与四棱锥V-ABCD的体积之比为（　　）

• A． 1：6
• B． 1：5
• C． 1：4
• D． 1：3

Answer 1

分析 棱锥A-B₁CD₁的体积可以看成四棱锥P-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，由B₁，D₁分别为侧棱VB、VD的中点，得到棱锥B₁-ABC的体积与棱锥D₁-ACD的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的$\frac{1}{2}$；棱锥B₁-VAD₁的体积与棱锥B₁-VCD₁的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的$\frac{1}{4}$．由此可得答案．

解答 解：如图，

棱锥A-B₁CD₁的体积可以看成是四棱锥V-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，
∵B₁为PB的中点，D₁为PD的中点，
∴棱锥B₁-ABC的体积是棱锥V-ABC体积的$\frac{1}{2}$，棱锥D₁-ACD的体积是棱锥V-ACD的体积的$\frac{1}{2}$，
∴棱锥B₁-ABC的体积与棱锥D₁-ACD的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的$\frac{1}{2}$；
棱锥B₁-VAD₁的体积是棱锥B-VAD体积的$\frac{1}{4}$，棱锥B₁-VCD₁的体积是棱锥B-VCD体积的$\frac{1}{4}$，
∴棱锥B₁-VAD₁的体积与棱锥B₁-VCD₁的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的$\frac{1}{4}$．
则中间剩下的棱锥A-B₁CD₁的体积V=四棱锥P-ABCD的体积-$\frac{3}{4}$个四棱锥P-ABCD的体积
=$\frac{1}{4}$个四棱锥P-ABCD的体积，
则两个棱锥A-B₁CD₁，P-ABCD的体积之比是1：4．
故选：C．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，利用分割法进行分割，是解题的关键，是中档题．