Question

20．已知△ABC的面积为4，点E、F分别在边AB、AC上，且$\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$，若P为线段EF上一动点，则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据△ABC的面积为4，可得△PBC的面积=$\frac{4}{3}$，从而可得PB×PC=$\frac{8}{3sin∠BPC}$，故$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PB}$=PB×PCcos∠BPC=$\frac{8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$，由余弦定理，
得到BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．从而$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PB}+{\overrightarrow{BC}}^{2}≥$$\frac{16-8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$．然后利用导数求得$\frac{16-8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$的最大值可得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值．

解答 解：∵E、F分别在边AB、AC上，且$\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴△ABC的面积=3△PBC的面积，而△ABC的面积=4，∴△PBC的面积=$\frac{4}{3}$，
即$\frac{1}{2}PB•PC•sin∠BPC=\frac{4}{3}$，PB×PC=$\frac{8}{3sin∠BPC}$，
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PB}$=PB×PCcos∠BPC=$\frac{8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$，
由余弦定理，BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC，
∵BP，CP均为正数，则BP²+CP²≥2BP×CP，
∴BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．
则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{BC}$²≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC=$\frac{16-8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$．
令y=$\frac{16-8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$，则$y′=\frac{24si{n}^{2}∠BPC-48coc∠BPC+24co{s}^{2}∠BPC}{9si{n}^{2}∠BPC}$=$\frac{24-48cos∠BPC}{9si{n}^{2}∠BPC}$．
由y′=0，得cos$∠BPC=\frac{1}{2}$．
此时函数在（0，$\frac{1}{2}$）上单调增，在（$\frac{1}{2}$，1）上单调减，
∴cos∠BPC=$\frac{1}{2}$时，$\frac{16-8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$取得最大值为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强，属难题．